教学研讨|9.2.2总体百分位数的估计(2019版新教材)
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研讨素材一
一、教材分析
教材截图
(考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本,这里对教材截个图)
教材分析:
百分位数直观上比较容易理解,它把一组按大小排列的数据分成相应百分比的两部分,为了使得对任何一组数据都存在任意的百分位数,百分位数的定义表述却不是很容易理解,教科书中给出的是一组数据的百分位数的定义,因为不管是对有限总体,还是从总体中抽取的样本,观测得到的都是一组数据,如果这组数据是总体中所有个体的观测值,那么该定义就是总体百分位数,如果这组数据是样本的观测值,那么该定义就是样本的百分位数,教学中,对于百分位数概念的理解,要注意强调它的直观含义
由总体的取值规律可以得到总体每个百分位数,但由总体的某一个百分位数,不能完全掌握总体的取值规律.
1.一组数据的百分位数
学生在初中已经学习了中位数,中位数是第50百分位数,从中位数到一般的百分位数,属于知识的螺旋上升.
教科书在9.2.1的问题1的基础上,使问题具体化,提出了问题2,明确要使80%的居民用户不受影响,如何给出月均用水量标准的建议,随着问题2的解决,结合此实例得到第80百分位数,在此基础上再给出百分位数的一般定义以及计算方法,最后通过两个例题让学生掌握一组数据的百分位数的计算方法.
百分位数的定义中所有的不等关系都是带有等号的,即用“小于等于”“大于等于”“至少有”描述.
类似总体均值和样本均值,总体百分位数是确定的数,样本百分位数随样本的不同而改变是一个随机变量,可以用样本百分位数估计总体百分位数.
不同软件计算百分位数的方法不同,如果一组数据个数较少,不同软件得到的结果可能相差比较大.
2.电子表格软件和R软件计算一组数据的百分位数的方法
在电子表格软件中,函数“percentile.inc(array,k)”用于计算百分位数,其中array定义相对位置的数组或数据区域,0≤k≤1.假设数据1,3,5,6,7,9分别在A1:A6中,分别用函数
percentile.inc(A1:A6,0.10),
percentile.inc(A1:A6,0.25),
percentile.inc(A1:A6,0.75),
percentile.inc(A1:A6,0.90)
求得第10,25,75和90百分位数为2,3.5,6.75和8.但按照教科书的计算方法,它们分别是1,3,7和9.
在电子表格软件中,如果k是n-1的倍数,则取排序后位置为该倍数加1的数据,例如这里1/(n-1)=1/(6-1)=0.2,则
percentile.inc(A1:A6,0)=1,
percentile.inc(A1:A6,0.2)=3,
percentile.inc(A1:A6,0.4)=5,
percentile.inc(A1:A6,0.6)=6
percentile.inc(A1:A6,0.8)=7,
percentile.inc(A1:A6,1)=9.
对于其他分位数,用插值法计算,例如percentile.inc(A1:A6,0.10)=2的具体计算过程如下:
1+(3-1)×(0.10/0.2)=2.
R软件也是采用这种方法计算一组数据的百分位数的.
用电子表格软件或R软件计算数据1,2,2,2,7,9的第0,20,40,60,80和100百分位数分别为1,2,2,2,7,9,所以第20至第60百分位数均为2.而用教科书的计算方法,第0,20,40,60,80和100百分位数也分别为1,2,2,2,7,9.
在数据1,2,2,2,7,9中,小于或等于2的数据占全部数据的2/3,大于或等于2的数据占全部数据的5/6:不存在那样的数,使得小于或等于该数的样本数恰好等于50%.
3.百分位数的特点
(1)第0百分位数为数据组中的最小数,第100百分位数为数据组中的最大数;
(2)一组数据的百分位数既可能是这组数据中的数,也可能不是这组数据中的数;
(3)一组数据的某些百分位数可能是同一个数.
4.几个重要的百分位数
25%分位数称为下四分位数或第一四分位数,75%分位数称为上四分位数或第三四分位数,上四分位数减下四分位数称为四分位极差,50%的数据落在下四分位数和上四分位数之间.在假设检验中,常用1%,5%,10%,90%,95%和99%的分位数.
5.由整理好的数据计算其百分位数
由一组数据的频数表、频率表、频数分布直方图或频率分布直方图可以近似计算这组数据的百分位数,具体方法在例3中给出,计算中的关键是假定样本在区间内是均匀分布的.
6.第201页边空中问题的解答
问题是:你认为14t这个标准一定能够保证80%的居民用水不超标吗?如果不一定,那么哪些环节可能会导致结论的差别?
解答:不一定,尽管这组数据中80%的居民用户用水不超过14t,但因为它来自样本观测据,只是总体80%分位数的一个估计值,抽样方法和样本的随机性都可能导致样本百分位数估计总体百分位数的误差.
【以上大部分内容选自《普通高中教科书教师教学用书数学必修第二册》,版权归原作者、原出版者所有,摘录、转载是为没有带纸质用书时研讨使用。】
二、目标和目标解析
1.理解百分位数的概念,能直观的认识百分位数的含义;
2.理解并掌握中位数、四分位数的含义;
3.掌握求百分位数的步骤,会求样本数据的百分位数,并能利用样本数据的百分位数估计总体数据的百分位数;
4.在利用样本数据的百分位数估计总体数据的百分位数的过程中,体会样本估计总体的思想方法.
三、教学重点、难点
重点:掌握求百分位数的步骤,会求样本数据的百分位数,并能利用样本数据的百分位数估计总体数据的百分位数;
难点:求百分位数的步骤
四、数学学科素养
水平一
理解百分位数的概念,会用样本常用百分位数估计总体百分位数.
(数学运算,数据分析)
水平二
了解多种统计图表,体会合理使用统计图表的重要性.(数据分析)
五、教学过程:见《研讨素材二》
研讨素材二
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研讨素材三
简单随机抽样 |
分层抽样 |
系统抽样 |
用样本的频率分布估计总体分布 |
用样本的数字特征估计总体的数字特征 |
2.3 变量间的相关关系(2课时) |
END
全
文
完
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